PROPERTIES OF COMPLEX NUMBER

 There are some property of complex number under     +,    −,    ×,    ÷      we prove these properties any value of complex number we take variable    a₁, b₁,c₁,d₁,e₁, f₁

ADDITION ( + ) complex number multiplication

( i ): closure property (+)

  when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ

=  (a₁+  b₁)+ (c₁  + d₁ )

 =(a₁ +c₁) +  (b₁+d₁)      ∈ ℂ    (say closed   +  in complex number )

 ( ii ): associative property  ( + )

once     (a₁+b₁) , (c₁ ,d₁ ) , (e₁  , f₁ )   ∈  ℂ 

  [ ( (a₁+b₁) + (c₁ +d₁ )   ] + (e₁  + f₁ ) 

 =  ( (a₁+ c₁) +e₁    ( b₁ + d₁  )  + f₁

 = [ a₁ +  (  c₁+ e₁  ) ,  b₁   + ( d₁   + f₁) ]

  as a result of addition is associative in R what is complex plane

 =   (a₁ , b₁) +(  c₁+ e₁ ) + ( d₁   + f₁)

 =     (a₁ , b₁) + [(  c₁+ d₁ ) + ( e₁   + f₁) ]  thence verify

(iii) additive identity ( + )

      ∀  ( a₁ ,b₁) ∈ ℂ 

 we have ( 0  , 0 ) ∈ ℂ

 such that ( a₁ , b₁) + ( 0 , 0 ) 

 = ( a₁+0 , b₁+ 0)

 = ( a₁ , b₁) 

this implies that  ( 0 , 0 ) is additive identity  in ℂ

  ∀  ( a₁ ,b₁) ∈ ℂ    inverse is    ( -a₁ , -b₁) ∈ ℂ   

( a₁ - a₁ )  + ( b₁  -b₁ )

 =  ( 0  , 0 )

 this implies that   ( a₁ ,b₁)    and  ( -a₁ , -b₁)  are additive inverse of each other 

(v) commutative property(+):

when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ   

 (a₁+b₁) +(c₁ + d₁ ) = (c₁ + d₁ ) + (a₁+b₁)

(a₁ +c₁) +  (b₁+d₁)  = (c₁ + a₁ ) +( d₁ + b₁)

  as a result of addition is commutative in R

 (a₁ +c₁) +  (b₁+d₁)  = (c₁ + a₁ ) +( d₁ + b₁)       thence verify

SUBTRACTION 

 (i) closure property ( - )

  when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ

 =  (a₁+  b₁ )- (c₁  + d₁ )

=(a₁ - c₁) ,  (b₁ - d₁)      ∈ ℂ    (say closed   -  in complex number )

(ii)  commutative property(- ):

  when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ   

  (a₁+b₁) -(c₁ + d₁ ) = (c₁ + d₁ ) - (a₁+b₁)

 (a₁ -c₁) +  (b₁- d₁)  = (c₁ - a₁ ) +( d₁ - b₁)

 (a₁ -c₁) +  (b₁- d₁)  = (c₁ - a₁ ) +( d₁ - b₁)    NOT HOLD  COMMUTATiVE 

(iii) associative property ( -  ):  

  once     (a₁+b₁) , (c₁ ,d₁ ) , (e₁  , f₁ )   ∈  ℂ 

 [ ( (a₁+b₁) - (c₁ +d₁ )   ] - (e₁  + f₁ ).......1 

 =  ( (a₁- c₁) - e₁    ( b₁ - d₁  )  -  f₁

 = [ a₁ -  (  c₁+ e₁  ) ,  b₁   - ( d₁   + f₁ )

   =   (a₁ + b₁) -(  c₁+ e₁ ) - ( d₁   + f₁)

=     (a₁ + b₁) - [ (  c₁+ d₁ ) + ( e₁   + f₁) ]......2  NOT HOLD ( - )

MULTIPLICATION

 (i ) closure property ( × )

 when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ

=  (a₁+  b₁) . (c₁  + d₁ )

=(a₁ c₁ -b₁d₁ ,  a₁d₁ + b₁d₁ )   ∈ ℂ  (say closed   ×   in complex number )

 (ii)   ASSOCIATIVE PROPERTY  ( × ) 

once     (a₁+b₁) , (c₁ ,d₁ ) , (e₁  , f₁ )   ∈  ℂ

=      [ (a₁+b₁) . (c₁ ,d₁ )] . (e₁  , f₁ ) 

= [ (a₁ c₁ -b₁d₁ ,  a₁d₁ + b₁c₁  ) ] . (e₁  , f₁ ) 

 = [ (a₁ c₁ -b₁d₁ ) .e₁ - ( a₁d₁ + b₁d₁ ) .  f₁   , (a₁ c₁ -b₁d₁)  .f₁ +( a₁d₁ + b₁ c₁) . e₁ ]

 =    [ (a₁ c₁ e₁  - b₁d₁ e₁   -  a₁d₁ f₁ - b₁d₁ f₁  , a₁ c₁f₁ -b₁d₁f₁+a₁d₁e₁  + b₁ c₁ e₁  )......1

=       (a₁+b₁) [ (c₁ +d₁ ) . (e₁  + f₁ )]

=   (a₁+b₁) [ (c₁e₁ - d₁ f₁)  , ( c₁f₁  +d₁e₁   ) ]

= a₁ (c₁e₁ - d₁ f₁) -  b₁  ( c₁f₁  +d₁e₁   ) , a₁ ( c₁f₁  +d₁e₁ ) e₁ +b₁ ( c₁ e₁ -d₁ f₁ )

=( a₁ c₁e₁ - a₁d₁ f₁ -  b₁c₁f₁  - b₁ d₁e₁    , a₁ c₁f₁  + a₁ d₁e₁ + b₁ c₁ e₁ - b₁ d₁ f₁ ).....2

                             result  1 and 2 we get

 [ (a₁ c₁ -b₁d₁ ,  a₁d₁ + b₁c₁  ) ] . (e₁  , f₁ ) =   (a₁+b₁) [ (c₁e₁ - d₁ f₁)  , ( c₁f₁  +d₁e₁   ) ]

MULTIPLICATIVE IDENTITY                

 ∀  ( a₁ ,b₁) ∈ ℂ   we have ( 1 , 0 )  ∈ ℂ   

 such that

 ( a₁ ,b₁) .(1 ,0 ) =( a₁ -0 ,0 +b₁ )

 =  ( a₁  ,b₁ )

 this implies that (1 ,0 ) is multiplicative identity incomplex number

COMMUTATIVE PROPERTY ( × )

 when       (a₁+b₁) ,(c₁ + d₁ )    ∈  ℂ

 (a₁+  b₁) . ( c₁+ d₁ ) =  (c₁  + d₁ ) . (a₁+  b₁)

 (a₁ c₁ -b₁d₁ ,  a₁d₁ + b₁c₁ ) =  (c₁a₁ - d₁b₁ ,c₁b₁ +d₁a₁ )

as a result of multiplication is commutative in R

 thens prove         (a₁+  b₁) . ( c₁+ d₁ ) =  ( c₁+ d₁ ).(a₁+  b₁)

 ∈ ℂ  (say commutative   in complex number )

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

WHAT IS IOTA AND POWER OF IOTA

Image
 IOTA  describes   the real quantity of complex form to solve complex number equation and equation may be trigonometry, algebra equation, quadric equation and any equation of complex number   mathematically IOTA  denoted by the sign  I or  ι  complex number Z  =  a +bi   where a and b are real number  iota is the imaginary  POWER OIOTA   when the power of iota change it describes the real number and complex number , usually real value of  IOTA  is    ι =  √⁻1 POWER OF IOTA IN DIAGRAM //// CUBE ROOT OF UNITY POWER? solve iota power EXAMPLE  if  we   find the iota power 8 SOLUTION                                   ᵢ⁸ = (ᵢ₄)² =(1)²=1     any power of iota divided by 4 to             EXAMPLE: 2                                    solve     ι⁹ SOLUTION                                                ι⁹  =        ι × ι⁸                                            =     ι ×( ι⁴ )²                                            =    ι × (1)2                                             =    ι × 1  
Read more

what is complex number addition and multiplication

Image
The addition of real and imaginary parts of the number is called a complex number a complex number is the builder of explained math to different group algebra, Trigonometry, set theory electronic, magnetics field, current measuring, DC and AC, construction building, etc. basically, complex number in the form of a real number, imaginary number a + bi if the real part is zero then the resultant value is imaginary if the imaginary part is zero then the resultant value is a  real number complex number diagram is shown below    what is complex plane CUBE ROOT OF UNITY PIWER ??? THE COMPLEX NUMBER PLAN SHOWN BELOW 👩                                                                    z = a + bi where a is the real number and b is also a real number                                                                  I form imaginary unit number √ -1                                                                            can be a value of a = 0  or  and b = o then the complex number in the f
Read more

REAL NUMBER PROPERTIES

Image
POWER OF IOTA  HOW SOLVE USE OF REAL NUMBER PROPERTIES            natural    number properties EX. 1                                                              5 + 8 = 8 + 5                (COMMUTATIVE PROPERTY} EX. 2                                                              (b +1) +3 /4 = b +( 1 +3 /4 )           (associative property) b is any number prove an associative property of real number           a =3 , b = 5 , c =7                                                                                      ( 3+ 5 ) +7 = 3 +( 5 +7 )                                                                                                15 = 15 EX. 3                                                         90 + 0 = 90 =0 + 90                ( 0 is additive identity)  EX. 4                                                    800 * 1 = 800 =1 * 800                     ( 1 is multip
Read more